全排列及其逆序数

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。

线性代数

行列式

1、排列及其他的逆序数

2、

排列、你序数、对换

1全排列及其逆序数

排列的逆序数

我们规定各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定有小到大为标准次序。

在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，则称这两个数组成一个逆序。

定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。

排列的奇偶性

逆序数为奇数的排列称为奇排列；

逆序数为偶数的排列称为偶排数。

对换

对换相邻两个元素，排列将改变奇偶性。

排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

例1        求解列32514的逆序数

解 ：在排列32514中，3排在首位，逆序数为0

2 的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1；

5的前面没有比5大的数，其逆序数为0；

1的前面比1大的数有三个，故逆序数为3

4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1；

于是排列32514的逆序数为

T=0+1+0+3+1＝5

定义  在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

当a<b时，

经对换后a的逆序数增加1，b的逆序数不变；

当a〉b时，

经对换后a的逆序数不变，b的逆序数减少1.

因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性

所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论  奇排列调成标准排列的对换次数为奇数

          偶排列调成标准排列的对换次数为偶数

证明  由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0）因此知推论成立。

排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。

对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数。偶排列调成标准排列的对换次数为偶数

行列式

什么是线性代数？

1.行列式：

2.

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把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）

 奇排列排成标准排列色换次数就是奇数；偶排列调成标准排列的对换次数就是偶数

求排列32514的逆序

1.比2大3  故逆序为1;

2.5前面没有大的故为0;

3.比1大有3个故为3;

4.4大的只有一个故1

所以t=0+1+0+3+1=5