1.设向量组A，如果在A 中能选出r个向量a1,a2,a3,...ar满足：

（1）向量组A0:a1,a2,...ar线性相关；

（2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+

1个向量的化）都线性相关，那么称向量组A0是向量A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）

2.矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

3.设向量B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不能大于 向量组A的秩

4.设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的最大无关组

5.设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价

一、最大线性无关向量组
定义5 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量,a.,…,a,，满足
⑴向量组A:a,,az…,a,线性无关;
(2）向量组A任意r+个向量（如果中有r+1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A是向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组)∶最大无关组所含向量个数称为向量组的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

二、矩阵与向量组秩的关系
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.
证设A=(a,, az,…,am)，R(A)= r,并设r阶子式D，≠0.根据4.2定理2由D，≠0知所在的r刚线性无关;又由A仲所有r+阶子式均为零，知任意r+1个列向量都线性相关.因此D,所在的r列是的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).
向量组a,az,…,a.的秩也记作R(a,a…,am)

结论
若D,是矩阵的一个最高阶非零子式，则D,所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D,所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.说明
⑴最大无关组不唯一;
(2）向量组与它的最大无关组是等价的.
 

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矩阵与向量组秩的关系  

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量的秩。

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