考虑阻尼时简谐荷载的响应

在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。

具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。

两者相比其区别为：

1）无阻尼体系振幅不衰减，有阻尼体系衰减；

2）无阻尼体系的动力放大系数为2，有阻尼体系的动力放大系数小于且接近于2.

自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。

自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。

研究单自由度体系的自由振动重要性在于：

1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。

2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。

自由振动反映了体系的固有动力特性。

要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……

运动微分方程的建立

原理：达朗伯尔原理

应用条件：微幅振动（线性微分方程）

方法：根据研究的出发点可分为两种方法——刚度法、柔度法。

两种方法适用于任何结构，但不同结构用两种方法求解的难易程度不同。

此外，两种方法贯穿于整章即对结构（单、多自由度体系）的动力分析中。

1）刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立力的平衡方程得到运动方程的方法。

2）柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。

刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。

1、动荷载分类

按变化规律及其作用特点可分为：

1）周期荷载：随时间作周期性变化（转动电机的偏心力）

2）冲击荷载：短时内剧增或剧减（如爆炸荷载）

3）随机荷载：（非确定性荷载）荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定（如地震荷载、风荷载）

2、动力自由度

确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1）集中 质量法

把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。

2）广义坐标法

如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示

用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系。

动力计算概述

1、动力计算的特点

“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。

两者对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。

2、动力计算的目的和内容

计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。

动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的原理和方法。

涉及到内外两方面的因素：

1）确定动力荷载（外部因素、即干扰力）

2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；

计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。

静定结构总论

超静定结构是由多余约束的几何不变体系；

超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；

如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由M=∑MiXi+Mp叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。

因此仅仅就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。

超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。

荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力，然后再根据内力重新选择截面。

另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。

温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超静定结构会产生内力（自内力状态）。

一般情况下，非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值成正比。

因此，为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸，不是明智的选择。

工程实践应用：

1）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响（设置沉降缝、温度缝）

2）利用自内力来调节超静定结构的内力。（预应力结构）

超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。

超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。

多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。

结点荷载列阵

结点荷载列阵是由直接作用在结构结点上的已知集中力或集中力偶组成的荷载列阵。

结点荷载列阵一列n行，n是未知量的个数，有作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及x、y， 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0，其正负号应按整体坐标确定。

等效结点荷载列阵

等效结点荷载列阵由节间荷载产生

具体解法

（1）把所有有结点位移的地方用附加刚臂和链杆中的反力即固端力；

（2）把反力反向作用在结点上，即为等效结点荷载。即等效结点荷载与固端力大小相等，方向相反，为固端力的相反数。

刚架整体刚度矩阵的求解方法与连续梁基本相同。

步骤如下：

（1）编号、建立坐标

（2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵

（3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的

（4）把单元定位向量标在整体坐标下单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列（后处理法）

（5）按定位向量用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。

与连续梁相比，刚架整体刚度矩阵的不同：

（1）各单元考虑轴向变形；

（2）每个刚结点有三个位移；

（3）要采用整体坐标；

（4）要处理非刚结点的特殊情况。

结点编号的作用

（1）用于单元定位；

（2）定未知量。

在确定未知量时规定

（1）不忽略轴向变形；

（2）所有单元都是两端固定的。

因此，由以上规定一个刚结点就有3个位移：水平位移u、竖向位移v、转角，而且支座位移也要作为未知量。

两种位移未知量编码方法：先处理法、后处理法。

位移未知量编码及处理方法

两种位移未知量编码方法：先处理法、后处理法。

先处理法：是考虑了支座约束，直接给未约束的位移未知量编号。  适用于手算。

后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），然后再减去支座约束，在总刚矩阵中删去支座约束所对应的行和列元素。  适用于电算。

桁架有上弦杆  下弦杆

单元定位向量

总码——在整体分析中按结构的特点位移统一编码

局部码——在单元分析中按单元两端结点位移单独编码

单元定位向量：描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。

单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。

单元定位向量在单元集成法形成整体刚度矩阵的过程中具有重要地位。

单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。

整体坐标系中的单元刚度矩阵

计算步骤

（1）对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。

（2）对每个单元按右式写出局部坐标下的单元刚度矩阵。

（3）对每个单元按下式写出坐标转换矩阵。

（4）对每个单元按下式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。

如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但组成结构的杆轴线方向可能并不相同，当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。

处理方法——坐标转换法，即

1）研究两种坐标系中单元杆端力的转换式，得出坐标转换矩阵；

2）研究两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。

单元刚度矩阵是对称矩阵

一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵，它的逆矩阵不存在

特殊单元

若单元六个杆端位移中有一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。

连续梁单元

桁架单元

理想桁架所有杆件均为二力杆，单元两端各有一个沿杆轴向的位移和力，即在局部坐标系中只存在x轴上的位移和力。

一般单元概念

指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。

凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。

进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。

现在讨论单元刚度方程，单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，由位移求力称为正问题。

方法：

在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。

单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生6个单位位移后产生6个杆端力的矩阵形式。

单元刚度矩阵有：

1）局部坐标下的单元刚度矩阵

2）整体坐标下的单元刚度矩阵

超静定连续梁的最不利荷载分布

移动均布荷载最不利荷载分布的规律

利用影响线的大致图形可以进行均布移动荷载的最不利布置。

原则：求最大值时在影响线的正面积部分分布荷载，求最小值时在影响线的负面积部分布置荷载。

（1）支座反力

支座最大反力对应的荷载分布：支座左右两跨布满荷载，然后隔跨布置荷载。

支座最小反力对应的荷载分布：支座左右两跨不布置荷载，然后隔跨布置荷载。

（2）跨中弯矩

跨中截面最大正弯矩对应的荷载分布：本跨布满荷载，

跨中截面最大负弯矩对应的荷载分布：本跨不布置荷载，然后隔跨布置荷载。

（3）支座弯矩

支座最大负弯矩对应的荷载分布：支座左右两跨布满荷载，然后隔跨布置荷载。

支座最大正弯矩对应的荷载分布：支座左右两跨不布置荷载，然后隔跨布置荷载。

无剪力分配法的解题思路

小结

（1）解题步骤同一般力矩分配法，关键是转动刚度、传递系数的求解，实际上是剪力静定杆的处理。

（2）求剪力静定杆的固端弯矩时，按该端滑动，远端固端杆件计算固端弯矩。

（3）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。

（4）无侧移杆的计算与以前一样。

无剪力分配法的应用条件

（1）两类刚架的区别

在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架两类，它们的区别在于位移法的基本未知量不同。

无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移

有侧移刚架——基本未知量既有结点角位移又有水平或竖向的线位移

（2）两类刚架的解法

无侧移刚架——力矩分配法

有侧移刚架——无剪力分配法（满足一定的条件）

无剪力分配法的应用条件

（1）两种杆件的概念

无侧移杆件——杆件两端没有相对线位移（即没有垂直杆轴线的相对位移）的杆件；

剪力静定杆件——杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件。

（2）应用条件

无剪力分配法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件（无侧移杆）外，其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架。

可以求解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行的问题。但也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。

单跨刚架在反对称荷载作用下，一定可以用无剪力分配法来求解。

力矩分配法求对称结构解题思路

1、对称结构的内力特点

对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其对称内力（弯矩、轴力）图是对称的，而反对称内力（剪力）图是反对称的。

对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其对称内力（弯矩、轴力）图是反对称的，而反对称内力（剪力）图是对称的。

利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。

2、对称结构的简化要点

1）奇数跨对称结构（以单跨刚架为例）

正对称荷载，取半刚架：在C点用滑动支座描述它的位移和内力

反对称荷载，取半刚架：在C点用竖向可动铰支座描述它的位移和内力。

2）偶数跨对称结构（以两跨刚架为例）

正对称荷载，取半刚架：在C点应用固定支座描述它的位移和内力。CB杆由于处在对称轴上，弯矩等于零，因此没必要画上去。

反对称荷载，取半刚架：将对称轴上的杆一分为二，刚度减为原来的一半。

（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称内力一定为零；

（2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称结点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；

（3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；

（4）对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算。