一、集合

1定义及表示法

1）定义：

集合：具有某种特定性质的事物的总体；

元素：集合中的事物

2）表示方法：

（1）列举法

（2）描述法

整数集合Z、有理数集Q、实数集R

http://wj.mooc.xjtudlc.com/course/746/task/70914/show 注： 8/20页

2集合之间的关系及运算

1)定义：若集合A中的元素必是集合B中的元素，则称A是B的子集，或B包含A；若B包含A，且A包含B,则A=B

例：R包含Q，Q包含Z, Z包含N

2)运算

并集，A∪B:x∈A或x∈B

交集，A∩B:x∈A且x∈B

差集，A\B:x∈A且x∉B

余集，A包含B，B在A上的余集就等于A与B的差集

直积AXB={(x,y)∣x∈A,y∈B}

二、映射

1概念

X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规则f，使得对于任意给定的x∈X,有唯一确定的y∈Y与之对应，则f称为从X到Y的映射

y称为元素x在映射f下的像

x称为元素y在映射f下的原像

集合X为映射f的定义域

Y的子集f(X)={f(x)∣x∈X}称为f的值域

注：元素x的像y是唯一的，反之未必

2逆映射与复合映射

1）逆映射

定义：f为单射（对于任意给定的集合X中的两个不相等的元素x₁,x₂; f(x₁)≠f(x₂)）， f-¹ : f(D)→D,使得对于任意给定的y∈f(D)， f-¹ （y）=x,其中f(x)=y,则 f-¹ 为f的逆映射

2）复合映射

多重映射构成的映射链

注意构成复合映射的条件

第二类换元法

换元法：

1、分项积分：利用积化和差、分式分项

2、降低幂次;利用倍角公式

3、统一函数

4、巧妙换元或配元

直接积分法：

利用恒等变形，积分性质及基本积分公式进行积分。

常用方法：分项积分、加项减项、利用三角公式、代数公式。

1、可导函数单调性判别：

泰勒公式：用多项式近似表示函数。

全微分

微分中值定理：

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理（泰勒公式）

柯西中值定理

函数，周期

函数的求导法则：

1、四则运算

2、反函数

3、复合函数

4、初等函数

导数的实质：增量比的极限。

几何意义：切线的斜率。

可导必连续，但连续不一定可导。

无穷小的比较

1、函数极限与数列极限关系的应用：

（1）利用数列极限判别函数极限不存在；

（2）数列极限存在的夹逼法则。

2、两个重要极限

y=c*x

连续函数的复合函数是连续的。

有限个无穷小之和仍是无穷小。

无限个无穷小之和不一定是无穷小

自变量趋于无穷大时函数的极限

高等数学

研究的对象变量，运动观点

柱面面积 2πX*y

柱壳体积 2πxy*dy