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1、收敛数列的极限唯一

2、收敛数列一定有界

3、收敛数列的保号性

4、收敛数列的任一子数列收敛于

一、集合

定义：具有某种特特定性质的事物的总体称谓集合

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齐次方程

分离变量

利用换元法

西安交通大学 现代远程教育课程 高等数学 
(二)多元函数的定义域、极限和连续;方向导数，复合函数求导(高阶)，隐函数的求导和全微分、条件极值
(1)多元函数在某点的定义域、极限和连续
要点:I:求二元函数在某点的极限
1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则
2、利用有界函数与无穷小乘积的性质

3、利用变量对换化为一元函数极限
4、利用夹逼准则与两个重要极限
主讲教师:赵加坤

内容
(1)直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的切平面
(2)函数的定义域、极限和连续(连续的定义)、方向导数、复合函数求导(高阶)、隐函数的求导与全微分、条件极值
(3)二重积分的计算(直角坐标与极坐标)
(4)第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。
(5)数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。
(6)微分方程

 
二.极限
1.收敛数列的性质:
唯一性;有界性;保号性;
2.函数极限
(1) 函数极限的六种定义
(2)函数极限的性质: 唯一性定理
局部有界性局部保号性
与左右极限等价定理

主讲教师:赵加坤

一.函数
定义域
1.函数的定义及函数的二要素
对应法则
2.函数的特性 有界性，单调性， 
奇偶性，周期性.

3.基本初等函数的性质

4.初等函数的结构

区回课程 任务81-1:第81讲 
B
西安交通大学 现代远程教育课程 高等数学 回源 
小结:对非齐次方程
f(x)=
(p，q为常数) y"+py'+qy=e'[P(x)cos@x+P(x)sinax] y"+py f(x)=下两个将f(x)
λ+i@为特征方程的k重根(k=0, 则可设特解: 目录 y"+py 第三步 
y* =x'e^*[R„ cos ox+ . sinox] 笔记 第四步 
其中 m=max{n,l}
上述结论也可推广到高阶方程的情形， 问答 
15 19 
口分享笔记
 任务完成条件 口学过了 
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18°

f(x)=e[P(x)cos@x+P(x)sin@x]型分析思路:第一步将f(x)转化为
f(x)=Pm(x)e(+i@)x+P(x)e(a+i@)x第二步 求出如下两个方程的特解
y"+py'+qy=p(x)e(+io)x y"+py'+qy=Pm(x)e(a+io)x
第三步利用叠加原理求出原方程的特解
第四步 分析原方程特解的特点

西安交 现状玩程教育课程 高等数学 
小结:
y"+py'+qy=0(p,q为常数)特征方程:r2+pr+q=0,特征根:r，r2
特征根 通解 
ni≠r实根 y=Ce 
i=r2=-- y=(Cl+Czx)ex 
12=a±iβ y=e“*(C_cos βx+Czsin βx) 
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程。

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二阶常系数齐次线性微分方程:
y"+py'+qy=0(p,q为常数)
因为r为常数时,函数ex和它的导数只差常数因子,所以令①的解为 v=erx(r为待定常数),代入①得
(r +pr+q)ex=0
r +pr+q=0
称②为微分方程①的特征方程， 其根称为特征根. 
1. 当p-4q>0时，②有两个相异实根1，r，则微分方程有两个线性无关的特解:=ei,yz=e2x,
因此方程的通解为 y=Ce+C,e2x

线性齐次方程解的结构
定理!，若函数j(x)y(x)是二阶线性齐次方程
y"+ P(x)v'+Q(x)y=0
的两个解,则y=Cn(x)+C₂yz(x)(C,Cz为任意常数)也是该方程的解。(叠加原理)
证: 将y=Cy(x)+C2)2(x)代入方程左边，得
[Cjy"+C2y2] +P(x)[Cy' +C2y2 ]
+Q(x)[Cy +C2y2]
=C¡[y"+P(x)y' +Q(x)y]
+C₂[y” +P(x)y+Q(x)y2] =0

亚阶线性微分方程举例
例1、质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上，当重力与弹性力抵消时，物体处于 平衡状态，若用手向下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相反、建立位移满足的微分方程。
解:取平衡时物体的位置为坐标原点，建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t)
(1)自由振动情况. 物体所受的力有: x 
弹性恢复力 f=-cx (虎克定律)

二、y"=f(x,y)型的微分方程
设y'=p(x),则y"=p',原方程化为一阶方程
p'=f(x,p)
设其通解为 p=p(x,C) 目录 
则得 y'=p(x,C) 
再一次积分，得原方程的通解 笔记 
y=∫φ(x,C)dx+C2
 

y(m=f(x)型的微分方程 dx令 z=y(n-1),则=y()=f(x),因此
z=ff(x)dx+C
即 yo-" =ff(x)dx+C, 
同理可得 y(n-2) = ∫[∫ f(x)dx+C ]dx + C2 
=∫l∫ f(x)dx ]dx + C¡x+C2
依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解

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思考: 如何解方程 x +v)dx-xdy=0? 
1
这不是一个全微分方程，但若在方程两边同乘就化成例2的方程.
二、积分因子法
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
若存在连续可微函数 μ=μ(x,y)≠0,使 
μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy=0为全微分方程，则称u(xy)为原方程的积分因子。
在简单情况下，可凭观察和经验根据微分倒推式得到积分因子.

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全微分方程
若存在u(x))使 du(xy)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
则称 P(xy)dx+Q(x,y)dy=0① 
为全微分方程( 又叫做恰当方程)
判别:P，Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 
① 为全微分方程 (x,y)ED 
求解步骤:
1. 求原函数 u(x,y)
方法1 凑微分法;
方法2利用积分与路径无关的条件.
2.由du=0知通解为u(x,y)=c.