西安交通大学 现代远程教育课程 高等数学 
内容小结
1.复合函数求导的链式法则
“分段用乘，分叉用加, 单路全导，叉路偏导”
例如，u=f(x,y,v),v=φ(x,y) u 
Ou=f'+fp;
2.全微分形式不变性
对z=f(u,v),不论u，v是自变量还是因变量,
dz=fu(u,v)du+f(u,v)dv

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多元复合函数求导的链式法则
定理。若函数 u=φ(t),v=u(t)在点t可导,z=f(u,v)
在点(u,)处偏导连续， 则复合函数 z=f(φ(t),ψ(()) 
在点t可导，且有链式法则
dz az du dz dv
dt ou dt av dt u 
证:设t取增量△t,则相应中间变量有增量△u,△v，
Δz = ou az ^u+z v+o(p)(p =√(Δu)² +(0v)?)
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定理1(必要条件)若函数 z=f(x，》)在点(x，)可微,
则该函数在该点偏导数 дz ay dz 必存在，且有 一、全微分 
ax
dz= az Ax+ ay 三 不依赖于Δx Δz=AΔx+E 处全增量0 定义:如果的 
ax
证:由全增量公式 Δz=AΔr+BΔy+o(p),令Δy=0 目录 在点(x))可微 
得到对x的偏增量 的全微分， dz =df=AΔ 
Δ z=f(x+Δx,y)-f(x,y)=AΔx+o(Δr) 笔记 若的数在域D 
同样可证дz ax=limΔr→0 ΔxΔx2=B,因此有 dz==A dz Ax+0z

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A
o
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一、全微分的定义
定义:如果函数 z=f(x，y)在定义域D的内点(x，y)
处全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示成 
Δz= AΔx+B Δy+o(p)，p =(Δr)² +(Δy)?其中 A,B不依赖于Δx,Δy，仅与x，y有关，则称函数 f(x,y)在点(x))可微，AΔx+BΔy 称为函数f(x,y)在点(x，)的全微分，记作
dz =df=AΔx+ BΔy
若函数在域D内各点都可微， 则称此函数在D内可微. 
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 任务完成条件 口学过了 
25℃ 晴朗人回日中15:382022/4/8

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定义、设函数z=f(x,y)在点(xo，yo)的某邻域内
极限 lim f(xo +Δx,yo)-f(xo,yo) 
Ar→0 Ax 
存在，则称此极限为函数 z=f(x,y)在点(xo,yo)对x
的偏导数，记为 af x(xo,yo)’ ax(xo,yo);2x(x0.10o);
f(xo,yo);f'(xo,yo).
注意:f(xo,yo)= limΔx→04(yo)- f(xo + Δx, yo)-f(xo, yo)Δx

偏导数定义及其计算法
引例:研究弦在点 ，处的振动速度与加速度， 就是 
将振幅 u(x,t)中的x固定于 如处,求u(xo,t)关于t的
一阶导数与二阶导数
u u(xo,t) 
u(x,t)
Xo

2.区域
(1)内点、外点、边界点 E 
设有点集E及一点P:
若存在点P的某邻域 U(P)CE,则称P为E的内点;
若存在点 P的某邻域 U(P)∩ E=∅,则称P为E的外点;
。若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E
的外点，则称P为E的边界点。
显然，E的内点必属于E，E的外点必不属于E，E的边界点可能属于 E，也可能不属于E.

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1.邻域
点集U(Po,δ)={P||PPo<8},称为点 P。的8邻域.例如,在平面上，
U(Po,δ )= {(x,y)√(x-xo)” +(y-yo)?<8}(圆邻域)在空间中，
U(Po,6)={(x,y,z)|√(x-xo)? +(y-yo)? +(z-zo)² <δ
(球邻域)
说明:若不需要强调邻域半径δ,也可写成 U(Po)点 P。的去心邻域记为 (Po)={P|O<|PP,|<δ }

 二、线面间的位置关系
1.两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)设直线 L,L，的方向向量分别为
si=(m),n,pi),s2=(m2，n2,p2) 目录 
则两直线夹角 φ满足
笔记
cosφ= si152 
?
mim2+nnz+p1p2 问答 
√m] +n +p1 √m2 +n2 +p2

2.对称式方程
已知直线上一点Mo(xo,yo,zo)和它的方向向量 s=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z)
则 MoMIIS 
M(x,y,z)
故有 x-xo_y-yo_z-zo 
n M,(xo,yozo) 
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)说明:某些分母为零时，其分子也理解为零.例如，当m=n=0，p≠0时，直线方程为
x=xo -d 
ly=yo

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二、平面的一般方程设有三元一次方程
Ax+By+Cz+D=0(A+B²+C?士0任取一组满足上述方程的数 xo,yo,zo,!则
Axo+Byo+Czo+D=0
以上两式相减，得平面的点法式方程
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0
显然方程②与此点法式方程等价， 因此方程②的图形是 
法向量为n=(ABC)的平面，此方程称为平面的一般方程.
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 Mo(xo,yo,zo)且垂直于非零向
量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 Z 
n
任取点M(x,y,z)Π,则有
MoMIn TI 
故 MM.n=0 
M=(x-xo,y-yo;z-zo)
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 ① 
称①式为平面Π的点法式方程，称n为平面 Ⅱ的 法向量,

<返回课程 任务48-10第48讲 
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空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标xy，z表示成参数t的函数:
y=y(t) x=x(t)数方程.称它为空间曲线的参 z=z(t)
目录
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 M 
x=acos@t
y=asinat 令0=@t,b=v x=acos0 笔记 
z=vt
y=asin0
z=b0 问答 
当0=2元时,上升高度 h=2元b，称为螺距

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空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 
F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0  F(x,y 
例如，方程组
2+y =12x+3z=6
表示圆柱面与平面的交线C.

果程 任务47-1:弟47讲 
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2.抛物面
Z
(1)椭圆抛物面
x2
(p，q同号)
2p 2q
特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面
(2)双曲抛物面(鞍形曲面)
=z(p，q同号)
2p 2q

第47讲
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四、二次曲面三元二次方程
Ax² + By² +Cz² + Dxy + Eyx + Fzx
+Gx+Hy+Iz+J=0
(二次项系数不全为0)
的图形通常为二次曲面.其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程，下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍。
研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

建立yoz面上曲线C绕 z 轴旋转所成曲面的方程:给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)=0若点 M(0,y,z)C,则有
f(y,31)=0
C
当绕 z 轴旋转时， 该点转到 M,(0,y,z) 
M(xy,z)
M(x,y,z),则有

故旋转曲面方程为
f(±√x +

一、曲面方程的概念
引例:求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为M(x,y,z)，则|AM|=BM，即
(x-1)2 +(y-2)² +(z-3)2
=√(x-2)² +(y+1)² +(z-4)?
化简得 2x-6y+2z-7=0 
说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程，不在此平面上的点的坐标不满足此方程。

运算律
(1) 交换律 ab=b.a b 
(2) 结合律(a,μ为实数) a 
(aa)·b=a·(ab)=x(a.b) (a+b) 
(aā)·(ub)=a(ā(ub)) 目录 
=âμ(a·b) Prjca Prjeb 
(3) 分配律(ā+b).σ=ā·c+b.c Prjc(a+b) 笔记 
事实上，当℃=0时，显然成立;当c≠0时
(a+b)·c =|c|Prj。(ā+b)=|c|( Prjaa+Prjcb) 问答 
=|@|Prjaā +|c|Prjcb =a·c +b.c

 一、两向量的数量积
引例。设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0的直线移动，位移为s，则力F所做的功为
W=|F|$ cosO
1.定义 A 
MI
设向量 āb的夹角为0，称
M2
a1b|cos0 记作 a.b W=F.s 
为d与b的 数量积 (点积).