课程 任务74-1:第74讲 
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据此可得
(cos 0+i sin0) =cosn0+i sinn0 z=x+iy 
(德莫弗公式)
V
利用幂级数的乘法，不难验证
e21+22
特别有
e++iy=e.ey=e(cosy+isiny)(x,yeR)
x+iy=e*(cosy+isiny) =e*

任务74-1:第74讲
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eix =cos x+i sn x (欧拉公式) 
e-ix
=cos x-isin x
cosx= eix+e-ix
2
则
ix -ix (也称欧拉公式) 
e -e 
sinx=
2i
yi z=x+iy 
利用欧拉公式可得复数的指数形式
z=x+iy=r(cos0+isin0)
X
=reio

定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:lim Rn(x)=0.
n->0
证明: f(x)= n=0 n! /(xo)(x-x)”,xeU(o) 

k=0 s.(5)=_/(x0)c-) k!
f(x)= S„+1(x)+ R„(x)
lim R„(x)= lim[f(x)-Sn+(x)]=0， xeU(xo)

务73-1:第73讲
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一、泰勒( Taylor )级数
若函数 f(x)在x的某邻域内具有 n+1阶导数，则在该邻域内有:
f()=/(x0)+/(x)(x-5)+/2)(《一5)”
+…+ n! f(xo)(x-xo)”+R_(x) 
此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中
R„(x)= )(n+1)! f(u+)(5)(x-xo)”+(5在x与石之间)
称为拉格朗日余项.

K<

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二、幂级数及其收敛性
形如 n=0∑a„(x-xo)"=ag +a(x-xo)+az(x- xo)²
…+an(x-xo)"+…
的函数项级数称为幂级数，其中数列a(n=0,1,…)称 目 
为幂级数的系数.
下面着重讨论 xo=0的情形，即
∑ anx""=ao +ax+azx'+…+a„x"
n=0
例如，幂级数 x <1 即是此种情形. 问答 
n=0

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函数项级数的概念
设u(x)(n=1,2.…)为定义在区间 I上的函数，称
∑u„(x)=u (x)+uz(x)+…+un(x)+…
n=l
为定义在区间 I上的函数项级数。
00
对 xI,若常数项级数 ∑un(xo)收敛，称 xg 为其收 
n=1
敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域;
若常数项级数 ∑un(xo)发散 ,称xg为其发散点，所有 
n=1
发散点的全体称为其发散域。

1-1:第71讲
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定理2(比较审敛法)设 ∑un,∑v，是两个正项级数,
n=1 n=1 
且存在 NZ+,对一切 n>N,有un≤kvn(常数 k>0),则有
(1)若强级数 v 收敛 ，则弱级数 un也收敛: 
(2)元若弱级数 n=1二”发散，则强级数 n=l n=1 vn也发散.
证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨
设对一切 neZ+，都有u≤kvn,
令S,和σ分别表示弱级数和强级数的部分和，则有

正项级数及其审敛法若 un≥0,则称∑un 为正项级数.
n=l
定理 1.正项级数 un收敛-部分和序列 
Sn
n=1
(n=1,2,…) 有界 .
证:“一>”若 un收敛,则{s„}收敛,故有界. 
n=1
“
un≥0,…部分和数列 {S}单调递增,
又已知{s„}有界，故{S}收敛,从而∑u„ 也收敛.

定义:给定一个数列 u1,u2,u3,…,un: 将各项依 
即
次相加，简记为 ∑ 
un'
n=l
un=u1+u2+uz+…+un+. n=l
目录
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u叫做级数的一般项， 
级数的前n项和
笔记
k =u1+uz+u3+…+un
n→00称为级数的部分和. 若 lim Sn=S存在，则称无穷级数问答
收敛，并称S为级数的和，记作

常数项级数的概念
引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积。
依次作圆内接正 3x2(n=0,1,2,…)边形,设 a表示
内接正三角形面积， ax表示边数 
增加时增加的面积，则圆内接正 目录 
3x2”边形面积为
ao+a1+a2 +… +an 笔记 
n→∞时，这个和逼近于圆的面积A.
即 问答 
A=ao +a_ +a2 +…+an +…

情形2曲面∑ 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可通过作辅助线面把 ∑ 分成与z 轴只交于一点的几部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消，所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 
注意:如果∑是xoy面上的一块平面区域，则斯托克斯公式就是格林公式，故格林公式是斯托克斯公式的特例

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斯托克斯(Stokes)公式
定理1. 设光滑曲面∑的边界「是分段光滑曲线，∑的侧与「的正向符合右手法则,P,Q,R在包含∑在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有
COP dxdy 
jPdx+Qdy+Rdz(斯托克斯公式)
证:情形1 ∑与平行z轴的直线只交于 Z 
一点，设其方程为
∑:z=f(x,y),(x,y)€Dxy为确定起见，不妨设∑ 取上侧(如图).

沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
连通区域的类型 设有空间区域G， 
若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G为空间二维单连通域;
若 G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通域。
例如，球面所围区域，既是一维也是二维单连通区域;
环面所围区域是二维但不是一维单连通区域;立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区域。

高斯(Gauss)公式
定理1.记设空间闭区域Ω 由分片光滑的闭曲面∑ 所围成,∑ 的方向取外侧,函数 P,QR在Ω 上有连续的一阶偏导数，则有
JICOP dy z dxdydz 
ax
=ff,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy (Gauss 公式) 
下面先证:
Iir ordxdydz=fl,Rdxdy

对坐标的曲面积分的概念与性质
指定了假
1，引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 向表示 
v=(P(x,y,z)、O(x,y,z)、R(x,y,z)) 方向余弦 
侧的规定
求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Ф <0为后侧 
分析:若∑ 是面积为S 的平面， 目录 设∑为 为(ΔS)xy 
流速为常向量: 法向量:n=(cosa,cosβ,cosy) 笔记 (Δo)xy) (0S),z.( (ΔS)xy= 
则流量
问答
Ф=S·@cos0=Sv.n
 

任务67-1:第67讲
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。指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示
方向余弦 cos a cosB cosY 封闭曲面 
侧的规定 0 为前侧 >0为右侧 >0为上侧 外侧 
<0为后侧 <0为左侧 <0为下侧 内侧 
·设 ∑ 为有向曲面，其面元 S 在 xoy 面上的投影记为(ΔS)xy, (ΔS)的面积为(Δσ)xy≥0,则规定
(Δo)xy) 当cosy>0时 类似可规定 
(ΔS)xy= -(Δσ)xy,0，当cosy≡0时当cosy<0时(0S),z,(S)zx

定义:设 ∑ 为光滑曲面,f(x，gz)是定义在 ∑ 上的一个有界函数， 若对 ∑ 做任意分割和局部区域任意取点,“乘积和式极限”
limâ→0∑/(5k，nk，5k)as，记作[∫s(x,y,z)ds
k-1
都存在，则称此极限为函数f(x，，2)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分. 其中f(x，y，z)叫做被积函数， ∑ 叫做积分曲面.
据此定义，曲面形构件的质量为M=p(x,y,z)ds
曲面面积为 s-jlzds 

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4
? 任务完成条件 学过了 
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FD2288VF FUUNOSTER

 
对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 p(x,y,z)，求质 
量M
类似求平面薄板质量的思想，采用 (5k,7k，5k) 
“大化小，常代变，近似和，求极限”的方法，可得
M=lim) Z0(5，7，5)0S:
其中，入表示n小块曲面的直径的
最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)。

3

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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价:
(1)沿D中任意光滑闭曲线 L，有fPdx+Qdy=0(2)对D中任一分段光滑曲线 L，曲线积分Pdx+Qdy
与路径无关，只与起止点有关.
(3)Pdx+Qdy 在 D内是某一函数 u(x,y)的全微分,
即 du(x,y)=Pdx+Qdy
(4)在D内每一点都有 P aQ 
dy

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格林公式
单连通区域(无“洞”区域)
区域D分类
多连通区域(有“洞”区域)
域D边界L的正向:域的内部靠左
定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
 o usdy-fpdr+Qdy(格林公武)
或