一、求矩阵的秩求矩阵的秩有下列基本方法
( 1)计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩.
( 2）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行(或列）的个数就是原矩阵的秩.
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用.
二、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解.
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法:初等行变换法和克莱姆法则.
 

初等变换的定义
换法变换
对调矩阵的两行列),记作ri<r ;(Cc );倍法变换
以数k ≠0乘某一行(列中的所有元素,记作rixk(c;xk);
消法变换
把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去,记作r;+kr c, +kc)

.矩阵的秩
定义在m×n矩阵A4中,任取k行和k列,位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.
定义设在矩阵A仲有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+l阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.
 

典型例题
一阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明
三、矩阵的分块运算
 

同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.
如果A=(aj)与B=(bi)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即
aij= bj(i=1,2,…,m; j = 1,2,…,n).那么就称矩阵A与矩阵B相等,记作A= B.
 

1、计算排列的逆序数
2、计算（证明）行列式
3、克拉默法则

学习典型例题
一计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则

1全排列
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(或排列).
n个不同的元素的所有排列的种数用P表示，且P, = n!.
逆序数
在一个排列(ii…i…i…in)中，若数i, > is,则称这两个数组成一个逆序.
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
3计算排列逆序数的方法方法1
分别计算出排在1,2,·,n-1,n前面比它大的数码之和，即分别算出1,2,…,n-1,n这n个元素的逆序数,这n个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法2
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
4对换
定义在排列中，将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换．将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
 

1全排列
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(或排列).
n个不同的元素的所有排列的种数用P表示，且P, = n!.
逆序数
在一个排列(ii…i…i…in)中，若数i, > is,则称这两个数组成一个逆序.
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
3计算排列逆序数的方法方法1
分别计算出排在1,2,·,n-1,n前面比它大的数码之和，即分别算出1,2,…,n-1,n这n个元素的逆序数,这n个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法2
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
4对换
定义在排列中，将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换．将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
 

(1）标准形所含项数r等于二次型对应的矩阵的非零特征值的个数(重特征值按重数计算）;(2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数(重特征值按重数计算）;
(3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数(重特征值按重数计算），也等于项数r减去正特征值的个数.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.
 

一、拉格朗日配方法的具体步骤

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变.

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形?

问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法.

拉格朗日配方法的步骤

1.若二次型含有,的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

2.若二次型中不含有平方项，但是a, ≠0(i≠j)，则先作可逆线性变换

用正交变换法化二次型为标准形
用正交变换化二次型为标准形的关键是:找到一个正交矩阵P使二次型的矩阵A
化成对角矩阵，具体步骤如下:
 

一、二次型及其矩阵表示

1合同矩阵
定义7设有两个n阶矩阵4、B,如果存在一个可逆矩阵
C使得B=CTAC ,则称矩阵A与B合同.
合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型的主要工具．合同关系具有以下性质:
性质1A与A自身合同.
性质2若A与B合同.则B与A合同.
性质3若A与B合同、B与C合同.则A与C合同.
定义8含有n阶个变量的二次齐次函数f(x,x,…,XR)=a1+az+…十a
+2a24X,+2a3x5+…+2an-1,nn-1n
称为二次型.
取a j =aj
则2a,Nx,=ayX,X +a x jX实二次型

1实对称矩阵的性质
性质1实对称矩阵的特征值都是实数,
特征向量为实向量;
性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交;的k重特征根,
性质3设A是n阶实对称矩阵,入是A
则齐次线性方程组(A-入E)x =0的系数矩阵的秩R(A-AE)=n-r,从而A的对应于特征值入的线性无关的特征向量恰有r个.
定理2设A是n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵P,使P-1AP=A ,其中A为对角矩阵,且A对角线上的元素是矩阵A的n个特征值.
2实对称矩阵的相似对角形
根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似.
 

1．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有:
(1)A与B相似,则det(A)=det(B);
(2)若A与B相似,且A可逆,则B地可逆,且A1与B-相似;
(3)A与B相似,则kA与kB相似,k为常数;(4)若A与B相似,而f(x)是一多项式,则f(A)与f(B)相似.
2．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成P 'AP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵.
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换,将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算.

定义1设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
P-'AP= B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B附相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系
1)反身性
A与A本身相似.
(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.(3)传递性若A与B相似,B与C相似,
则A与C相似.
2.P-1(4A,)P=(P-'AP)(P-'AP).
3.若A与B相似,则A"与B""相似(m为正整数).

定义1设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
P-'AP= B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B附相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系
1)反身性
A与A本身相似.
(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.(3)传递性若A与B相似,B与C相似,
则A与C相似.
2.P-1(4A,)P=(P-'AP)(P-'AP).
3.若A与B相似,则A"与B""相似(m为正整数).
 

1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.
3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.