方阵的特征值和特征向量
定义l设A是n阶方阵,如果数入和n维非零
列向量x使关系式入x数A称为方阵A的特征
值成立那么,这样的非零向量x称为A的对应于特征值礼的特征正向量.
 

四、正交矩阵与正交变换
定义1
若n阶方阵满足 AA=E(即A1= AT)则称伪正交矩阵﹒定理A为正交矩阵的充要条件是A的行向量都
是单位向量且两两正交.
证明AAT=E
 

正交及性质
1.正交:若[α,β]=0,则称α与β正交.规定零向量与任何向量正交.

2.正交向量组:一组非零两两正交的向量组.
3.正交的性质

定义6 设v为n维向量的集合,如果集合v非空,且集合v对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合v为向量空间.
说明
1.集合v对于加法及乘数两种运算封闭指
若α eV,B∈V,则a+ BaV;
若αEV,a∈R,则Aa EV.
2.n维向量的集合是一个向量空间,记作R".
说明
(1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基.
(2)若把向量空间V看作向量组,那么V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.
(3）若向量组a1,a 2 ,… ,a ,是向量空间V的一个基，则V可表示为
V ={x =入a, +入o,+…+2l,c,4…,A,eR}

4．线性方程组的解法

(1）应用克莱姆法则
特点:只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题.
(2）利用初等变换
特点:适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表)中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法.
 

线性方程组基础解系的求法
 

1．最大线性无关向量组的概念:
最大性、线性无关性.
2.矩阵的秩与向量组的秩的关系:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩
一矩阵行向量组的秩
3．关于向量组秩的一些结论:
一个定理、三个推论.
4 .求向量组的秩以及最大无关组的方法:
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换.
 

一、最大线性无关向量组
定义5 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量,a.,…,a,，满足
⑴向量组A:a,,az…,a,线性无关;
(2）向量组A任意r+个向量（如果中有r+1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A是向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组)∶最大无关组所含向量个数称为向量组的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

二、矩阵与向量组秩的关系
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.
证设A=(a,, az,…,am)，R(A)= r,并设r阶子式D，≠0.根据4.2定理2由D，≠0知所在的r刚线性无关;又由A仲所有r+阶子式均为零，知任意r+1个列向量都线性相关.因此D,所在的r列是的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).
向量组a,az,…,a.的秩也记作R(a,a…,am)

结论
若D,是矩阵的一个最高阶非零子式，则D,所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D,所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.说明
⑴最大无关组不唯一;
(2）向量组与它的最大无关组是等价的.
 

一、最大线性无关向量组
定义5 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量,a.,…,a,，满足
⑴向量组A:a,,az…,a,线性无关;
(2）向量组A任意r+个向量（如果中有r+1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A是向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组)∶最大无关组所含向量个数称为向量组的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.
证设A=(a,, az,…,am)，R(A)= r,并设r阶子式D，≠0.根据4.2定理2由D，≠0知所在的r刚线性无关;又由A仲所有r+阶子式均为零，知任意r+1个列向量都线性相关.因此D,所在的r列是的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).
向量组a,az,…,a.的秩也记作R(a,a…,am)结论
若D,是矩阵的一个最高阶非零子式，则D,所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D,所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.说明
⑴最大无关组不唯一;
(2）向量组与它的最大无关组是等价的.
 

线性相关性是向量组的一个重要性质
定理5 若向量组Aa,, a,…, m线性相关,则向量组B:a.…, am, amt,也线性相关反言之,若向量组B线性无关.则向量组他线性无关
 

线性相关性是向量组的一个重要性质
定理5(1)若向量组Aa,, a,…, m线性相关,则向量组B:a.…, am, amt,也线性相关反言之,若向量组B线性无关.则向量组他线性无关
 

定义4给定向量组A: a,,a,…,am,如果存在不全为零的数k,k,…,km使
kq, + k, ,+…+km om =0
则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.注意1.若α, α,… , αt ,.线性无关,则只有当入=…·= 入n= 0时,才有
a1+aa2+…+入n n=0成立.
2.对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关.
 

对方程组A的各个方程做线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合;若方程组B出每个方程都是方程组A的线性组合，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A的解一定是方程组B的解;若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定同解.
 

1.n维向量的概念

定义1 n个有次序的数a,az,…,a,所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的个分量,第i个数a,称为第i个分量.

分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.

2.n维向量的表示方法

n维向量写成一行，称为行向量,也就是行矩阵，通常用a,b' ,a,等表示，如:

a'=(a,a.,…,a,)

n维向量写成一列，称为列向量,也就是列矩阵，通常用a,b,x,β等表示，如:

解证对增广矩阵B进行初等变换,方程组的增广矩阵

线性方程组的解

1.线性方程组有解的判定条件

2.线性方程组的解法

初等变换求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.